为什么“负负得正”？

作者 | 大小吴

来源 | 大小吴的数学课堂

(-1)×(-1) = 1 是每一个上过中学的人都熟知的事实，但是即便是非常简单的“负负得正”，你有想过这是为什么吗？今天大小吴就和大家来探讨一下这件事。

1 司汤达的疑问

将财产记为正数，负债记为负数对于普通人来说确实是一件易于理解的事，这种记录方式始于7世纪的印度，它适用于加减法的运算，比如，本来有 10 元，支出 12 元，对应的算式是 10 - 12 = -2 。这里的对应的实际含义是“负债 2 元”。

然而，当要对其进行乘除法的时候，就会出现某些匪夷所思的问题，在12世纪，印度天文学家巴斯卡拉这样说道：“财产和财产的乘积，债金和债金的乘积均为财产，财产和债金的乘积则是债金。”根据他的说法，就有 债金×债金 = 财产 。这个公式是什么意思呢？恐怕无人能够理解。18世纪的大数学家欧拉在其著作《代数学入门》采用过同样的说明方法，这让许多学习数学的人在初遇负数相乘问题的时候感到一头雾水。

司汤达（1783~1842）

《红与黑》的作者，19世纪法国批判现实主义作家司汤达在其年少时酷爱数学，但他同样也困惑于“负负得正”问题，他在其自传中这样写道：

似乎是由于年少的单纯，使我认为在数学中是不可能有虚假的，然而当了解了谁也没加证明的（负×负）=（正）时，该怎么办才好呢（这是代数学的基础之一）。当考虑某人有负的借款时，为何 1 万法郎的借款乘以 500 法郎借款，就会变成 500 万法郎的财产了呢……

实际上，司汤达提出了每一个学习代数的人都必然会提出的问题，即为什么“负负得正”？该如何直观地理解这件事？

2 从实际的角度

问题出在了对正负数的说明上。仔细想想，对于什么是 财产×财产，债金×债金，恐怕谁也无法说明，因为金额再乘以金额是没有实际意义的。

M·克莱因（1908-1992

对此，《古今数学思想》的作者，美国数学史家和数学教育家M·克莱因通过“负债模型”巧妙地说明了“负负得正”问题：

一个人每天欠债 5 元，从给定日期开始（比如今天）3 天后欠债 15 元。如果将 5 元的负债记作 -5 ，那么“每天欠债 5 元，欠债 3 天”可以用数学来表达：(-5)×3 = -15 。

同样地，每天欠债 5 元，考虑这个人 3 天前的财产，那么就应该比今天的财产多 15 元。如果我们用 -3 表 示 3 天前，用 -5 表示每天欠债，那么 3 天前他的财产情况就可以表示为 (-5)×(-3) = +15 。

受此启发，我们也可以举出“批阅试卷”的例子来进行说明：

如果有一次考试某同学错了一道题，扣 5 分，则将其记为，对应的算式是：(-5)×1 = -5 。

这里的 1 表示的实际含义是 1 道错题。

换个角度想，假若是老师批错了，那么很显然这位同学扣除的 5 分就会加回去了，其得分是 +5 。

1 表示老师批对，那么相对应地，则 -1 表示老师批错，对应的算式是：(-5)×(-1) = +5 。

上述两个例子是自然的，也是合乎情理的，可以帮助我们理解“负负得正”。

3 从运算逻辑的角度

4 从几何的角度

5 不能加以证明的“负负得正”

参考文献：

[1]（日）远山启.数学与生活[M].吕砚山等译.人民邮电出版社，2014.

[2]（美）R·柯朗，H·罗宾. 什么是数学——对思想和方法的基本研究[M].复旦大学出版社，2012.

[3]（德）菲利克斯·克莱因.高观点下的初等数学（第一卷）——算术 代数 分析[M].舒湘芹等译.复旦大学出版社，2008.