在前文，已经验证二自由度机械臂在静止状态下，不同方法得到的末端点P的位置坐标值是一致的，此文将简单介绍一下二自由度机械臂正运动学、逆运动学分析。

2.1 正运动学

给出二自由度机械臂两个关节的运动曲线，让机械臂运动，得到末端点P的位置曲线。两个关节角度变化如下所示：

让机械臂按照上述关节角度曲线运动，对比几种方法计算的末端点P的位置曲线。

（1）RT & MDH & MATLAB对比

采用前文所述的机器人工具箱（RT）、改进DH法（MDH）和几何法（MATLAB），根据上文的关节角度轨迹，计算机械臂末端点P的位置变化曲线。三种方法的结果如下图所示：

为了更方便对比不同方法的计算结果，分别对RT&MDH、RT&MATLAB计算的结果进行作差，具体如下：

RT和MDH计算结果的差值：

RT和MATLAB计算结果的差值：

可以看到，RT、MDH和MATLAB这三种方法计算的结果十分接近，误差几乎为零！

（2）RT和Solidworks对比

以机器人工具箱（RT）为基准，与Soldiworks仿真结果进行对比。在Solidworks中，利用Motion模块进行运动学仿真，如下所示：

采集末端点P的位置曲线，与RT计算的结果进行对比，如下所示：

RT和Solidworks计算结果的差值：

可以看出，利用Solidworks进行运动学仿真，其仿真结果准确性虽然不如机器人工具箱，但两者的误差也较小，用来做简单的运动学仿真足以（由于利用Solidworks可以很方便的做运动学、动力学仿真，笔者使用该方法进行仿真较多）。

（3）RT和Simscape对比

以机器人工具箱（RT）为基准，与Simscape仿真结果进行对比。在Simscape中进行运动学仿真，如下所示：

采集末端点P的位置曲线，与RT计算的结果进行对比，如下所示：

RT和Simscape计算结果的差值：

可以看出，利用Simscape进行运动学仿真，其仿真结果准确性较高，但是前期搭建Simscape仿真模型较为麻烦，不过后期如果要做控制相关的课题，离不开Simscape仿真平台。

2.2 逆运动学

给定末端点P的位置坐标（xp，ypx_p，y_pxp​，yp​），求解二自由度机械臂的关节角度（θ1，θ2\theta_1，\theta_2θ1​，θ2​）

（1）公式推导

在直角三角形OPC中有：L0=xp2+yp2L _ { 0 } = \sqrt { x _ { p } ^ { 2 } + y _ { p } ^ { 2 } }L0​=xp2​+yp2​​，θ0=arctan⁡(yp/xp)\theta_0=\arctan(y_p/x_p)θ0​=arctan(yp​/xp​)，xp=L0cos⁡θ0x_p=L_0\cos\theta_0xp​=L0​cosθ0​,yp=L0sin⁡θ0y_p=L_0\sin\theta_0yp​=L0​sinθ0​

求解θ1\theta_1θ1​，有公式：

平方相加后为：

由于：xp=L0cos⁡θ0x_p=L_0\cos\theta_0xp​=L0​cosθ0​,yp=L0sin⁡θ0y_p=L_0\sin\theta_0yp​=L0​sinθ0​，上式可以写成：

也即：

解得：

求解θ2\theta_2θ2​：

<1> 当xp−L1cos⁡θ1=0x_p-L_1\cos{\theta_1}=0xp​−L1​cosθ1​=0时，有cos⁡(θ1+θ2)=0\cos(\theta_1 + \theta_2) = 0cos(θ1​+θ2​)=0，即：

当yp > L1sin⁡θ1y_p\ >\ L_1\sin\theta_1yp​ > L1​sinθ1​，满足θ1+θ2=90∘\theta_1 + \theta_2=90^{\circ}θ1​+θ2​=90∘，有以下四类情况：

此时，可得：

当yp < L1sin⁡θ1y_p\ <\ L_1\sin\theta_1yp​ < L1​sinθ1​，满足θ1+θ2=−90∘\theta_1 + \theta_2=-90^{\circ}θ1​+θ2​=−90∘，有以下四类情况：

此时，可得：

<2>当xp−L1cos⁡θ1≠0x_p-L_1\cos{\theta_1}\neq0xp​−L1​cosθ1​=0时，根据下式：

两式相除，有：

因此可得：

（2）验证

验证轨迹1：让二自由度机械臂末端点P以（0.1，0，1）m为圆心，0.02m为半径画圆，如下所示：

按照上一节的公式进行逆运动学计算，算出来了两组解，如下图所示：

为了验证逆运动学是否正确，将算出来的结果再代入正运动学中，看求解出来的末端点P的轨迹曲线是否为上述的圆形轨迹。根据两组解来进行正运动学计算，结果如下所示：

可以看出，理论值（给出的圆形轨迹）和验证值（利用两组解，按照正运动学计算末端点P的轨迹）重合度较高。为了更为直观的观察前后结果，这里通过对坐标值进行作差来进行观察，结果如下所示：

由图可知，在圆形轨迹中，通过逆运动学可算出来两组解。利用这两组解进行正运动学计算，得到的末端点轨迹与给出的圆形轨迹误差几乎为零！！

验证轨迹2：让二自由度机械臂末端点P画8字曲线，如下所示：

同理，按照上一节的公式进行逆运动学计算，算出来了两组解，如下图所示：

可以看到，第二组解的 θ2\ \theta_2 θ2​出现了两个畸变点，这种情况在实际实验、加工中是不允许有的，要注意规避这种情况，这里不做过多深究。同理，为了验证逆运动学是否正确，将算出来的结果再代入正运动学中，看求解出来的末端点P的轨迹曲线是否为上述的8字轨迹。根据两组解来进行正运动学计算，结果如下所示：

可以看出，理论值（给出的8字轨迹）和验证值（利用两组解，按照正运动学计算末端点P的轨迹）重合度较高。为了更为直观的观察前后结果，这里通过对坐标值进行作差来进行观察，结果如下所示：

图可知，在8字轨迹中，通过逆运动学可算出来两组解。利用这两组解进行正运动学计算，得到的末端点轨迹与给出的8字轨迹误差几乎为零！！

（3）小结

对二自由度串联机械臂而言，进行逆运动学求解一般有两组解，且通过本文验证实验表明，所推导的逆运动学公式准确性较高！！

我是木头人，以上全是个人见解，有问题请大家评论区指出，大家共同进步！！